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Ejercicios de localización 2

Ejercicios de localización 2

Ejercicios del método de centro de gravedad

Ejercicio 1

Se pretende estudiar mediante el método de centro de gravedad las coordenadas geográficas y cargas para la prestación del servicio a diversas ciudades próximas entre sí.
Investigar cerca de qué coordenadas estaría la instalación óptima de la planta.

ej1-min

C xy = (5,15, 6,69)

 

Ejercicio 2

Se quiere montar una nueva plataforma logística que de servicio a cuatro ciudades.
Hallar por el modelo de transporte o de coste (centro de gravedad), las coordenadas óptimas para su ubicación.

ej2-min

Cxy = (7,61, 5,77)

Un breve comentario a añadir, es que si los costes hubieran sido los mismos para las cuatro localizaciones, no hubiera hecho falta ponderarlos en la fórmula, por lo que se plantearía la resolución de igual forma que en el primero de los ejercicios.

Ejercicio 3

Una empresa de alta tecnología considera la apertura de una planta. Se suministraría de tres proveedores, situados en lugares diferentes, detallándose a continuación sus coordenadas geográficas.

Busca una localización de fácil acceso donde los costes de desplazamiento sean mínimos.

El total de compras anual asciende para los tres proveedores a 24.000 €, donde la compra media es de 150 €.

El total de compras corresponde en un 25 % al proveedor A, en un 43,75 % a B y el resto a C. Determinar pues la localización óptima de la planta.

EJ3-min

Aquí el coste es el mismo, pero necesariamente hay que ponderarlos por sus pesos:

FORMULAS3-min

C xy = (122,81, 156,25)

 

Ejercicios del método de la ponderación

Ejercicio 4

Hallar mediante el método de los factores ponderados (media aritmética y geométrica) la localización más efectiva:

ej4-min

P Cartagena = 7 * 0,11 + 3 * 0,34 + 9 * 0,18 + 6 * 0,25 + 1 * 0,12 = 5,03
P San Javier = 8 * 0,11 + 4 * 0,34 + 5 * 0,18 + 3 * 0,25 + 7 * 0,12 = 4,73
P Málaga = 6 * 0,11 + 2 * 0,34 + 8 * 0,18 + 4 * 0,25 + 8 * 0,12 = 4,74
P Alicante = 9 * 0,11 + 6 * 0,34 + 4 * 0,18 + 5 * 0,25 + 6 * 0,12 = 5,72

f4-min

En vista de los resultados, cabe decir que el mayor valor para ambas medias ha sido Alicante, por lo que atendiendo a la prevalencia de la exponencial, se elige la planta de Alicante.

 

Ejercicio 5

Se está estudiando la localización de un centro hospitalario que cubra el servicio de una amplia zona geográfica.

Se han evaluado las necesidades asistenciales de la población y los patrones que tiene la demanda de servicio sanitario en la zona.

El resultado ha sido escoger entre tres posibles localizaciones: Alcalá de Henares, San Fernando y Barajas.

A continuación, se expresan los indicadores, ponderaciones y puntuación de cada factor respecto a la localización.

Hallar mediante el método de los factores ponderados (media aritmética y geométrica) la localización óptima del centro hospitalario:

ej5-min

En vista de los resultados, cabe decir que el mayor valor para ambas medias ha sido Alcalá de Henares, por lo que atendiendo a la prevalencia de la exponencial, se elige la planta de Alcalá de Henares.

 

Ejercicios de localización por estimación del potencial de mercado

ej6-min

Básicamente lo que enuncia la fórmula es que se obtiene la probabilidad de que un habitante de la población “i” vaya al comercio “j” teniendo en cuenta la superficie “S”, el tiempo de espera “T” y la constante de atractivo “λ”. Este método tiene en cuenta variables importantes para el consumidor.

Un ejemplo práctico a continuación:

Ejercicio 6

ej66-min

Se ha representado la cantidad de habitantes en cada población, con sus respectivos tiempos de tardanza en ir, desde su población a dicho comercio.

Teniendo en cuenta que la superficie para los tres locales es la misma, 2.000 mts2 y que la constante de atractivo es equivalente a 2, la solución es:

ej666-min

El procedimiento a seguir, para conocer la localización de la ubicación final de una instalación por este método es la de escoger aquél comercio que de como resultado el mayor número de potenciales clientes esperados al que van a acudir, por lo que para el ejemplo se escogerá el número 1.

 

Ejercicio 7

Mercadona está considerando dos zonas para ubicar un supermercado próximo a dos localidades diferentes, donde en “A” sería de 2.000 mts2 y en “B” de 3.000 mts2.

El tiempo que tarda un consumidor de Majadahonda en llegar a “A” es de 3´ y a “B” es de 5´ mientras que uno de Pozuelo en llegar a “A” tarda también 3´ y a “B” 2´.

Si el número de habitantes en Pozuelo es 20.000, ¿Cuántos tendría que tener Majadahonda para abrir en “A”? tener en cuenta que la constante de atractivo es 3.

ej7-min

NB = 0,2447 * X habitantes + 0,8349 * 20.000 habitantes

Habiendo obtenido las ecuaciones fundamentales, se puede conocer el número de habitantes
de Majadahonda para que la decisión fuera indiferente planteando la desigualdad:

0,7552 * X + 0,1649 * 20.000 > 0,2447 * X + 0,8349 * 20.000

Se puede despejar la incógnita de habitantes “X” para conocer los de Majadahonda y así saber
cuántos ha de tener de más:
0,7552 * X + 3.298 > 0,2447 * X + 16.698 →
0,5105 * X > 13.400 →
X = 26.248 habitantes en Majadahonda

Finalmente, para que la alternativa escogida fuera la ubicación “A”, el resultado es que Majadahonda debería contar con más de 26.248 habitantes.

 

Ejercicio 8

Unos empresarios se plantean abrir una gasolinera con restaurante.

Dudan entre los emplazamientos “A” y “B” próximos a las poblaciones de Parla y Getafe.

Si el establecimiento tiene 1.000 mts2 y se tiene en cuenta que la constante de atractivo es 2, hallar el emplazamiento más idóneo teniendo en cuenta los siguientes datos, que las poblaciones de dichas localidades, Parla y Getafe, cuentan respectivamente con 200.000 habitantes y 150.000:

ej8-min

El procedimiento a seguir, para conocer la localización de la ubicación final de una instalación por este método es la de escoger aquél emplazamiento que de como resultado el mayor número de potenciales clientes esperados al que van a acudir, por lo que para el ejemplo se escogerá el emplazamiento “A”.

 

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Ejemplos prácticos de localización 1

Ejemplos prácticos de localización

Ejemplos prácticos de localización 1

Para entender mejor la problemática de la localización de cada enunciado, conviene ver cuál es la división de los métodos de localización:

Los ingresos dependen de la ubicación

El truco consiste en ver que el volumen esperado de venta es distinto según la ubicación tal como se ve en el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo 1

Con los siguientes datos, hallar qué instalación es la más aconsejable u óptima para determinar la toma de decisión:

ej1-min

El criterio general para resolver un problema de este tipo es estudiar la siguiente ecuación:
IT mur. – IT val. > CT mur. – CT val. → (P * Q) mur. – (P * Q) val. > (CF + CVu) mur. – [CF + CVu] val.

Observar que la diferencia de ingresos sea superior a la de costes, de ambas localizaciones.

60 * (1.500) – 60 * (900) > 10.000 + 30 * (1.500) – *18.000 + 20 * (900)+ →u.m.
36.000 > 19.000

Finalmente, sí se cumple la desigualdad, por lo que para este resultado, el procedimiento en la
toma de decisiones es escoger aquélla alternativa que tenga mayor volumen esperado de venta o demanda, por lo que se elige la planta de Murcia.

graf1-min

Un dato a tener en cuenta, es que en ordenadas se representan las u.m. porque se pueden
representar los ingresos y costes a la vez.

Gráficamente se observa que la diferencia de ingresos (36.000) es muy superior a la de costes
(19.000), por lo que si compensa tomar la decisión.

El punto de corte de ambas funciones es:

CT mur. = CT val.→ 10.000 + 30 * X = 18.000 + 20 * X → X = 800 uds.

 

Ejemplo 2

Con los siguientes datos, hallar qué instalación es la más aconsejable u óptima para determinar la toma de decisión:

ej2-min

60 * (600) – 60 * (1.000) > 10.000 + 30 * (600) – (18.000 + 20 * (1.000) )→  -24.000 > -10.000

No se cumple la desigualdad, por lo que para este resultado, el procedimiento en la toma de
decisiones está en escoger la alternativa que menor demanda tenga pues es la que menos coste tendrá, luego se elige la planta de Murcia.

Gráficamente, el corte se produce entre medias de los volúmenes esperados, siendo el mismo punto que en el anterior ejercicio.

 

Ejemplo 3

Con los siguientes datos, hallar qué instalación es la más aconsejable u óptima para determinar la toma de decisión:

ej3-min

60 * (1.000) – 60 * (800) > 10.000 + 30 * (1.000) – [18.000 + 20 * (800)+ → 12.000 > 6.000

Sí se cumple la desigualdad, por lo que para este resultado, el procedimiento en la toma de decisiones es escoger la alternativa que mayor demanda esperada tenga, entonces se elige la
planta de Murcia.

graf3-min

Se observa que la diferencia de ingresos (12.000) es muy superior a la de costes (6.000), por lo que si compensa tomar la decisión.

El punto de corte de ambas funciones es:

CT mur. = CT val. → 10.000 + 30 * X = 18.000 + 20 * X → X = 800 uds.

 

Los ingresos son independientes de la ubicación

El truco consiste en ver que el volumen esperado de venta es idéntico para las distintas ubicaciones.

 

Ejemplo 4

Con los siguientes datos, hallar qué instalación es la más aconsejable u óptima para determinar la toma de decisión:

ej4-min

Primeramente hay que identificar cuáles de estos costes son fijos y variables. Después se calcula la función de costes de cada alternativa de inversión sabiendo que:
C (X) = CT → CF + CVu

C car. = (14.000 + 16.000)+ ((50 + 20 + 5) * X) → 30.000 + 75 * X → para un volumen de 2.000
(se sustituye 2.000 en la función de coste donde pone “X”) → C car. = 180.000

C ali. = (40.000 + 20.000) + ((35 + 8 + 2) * X) → 60.000 + 45 * X → para un volumen de 2.000 (se
sustituye 2.000 en la función de coste donde pone “X”) → C ali. = 150.000

C mál. = [90.000 + 20.000] + 25 * X → 110.000 + 25 * X → para un volumen de 2.000 (se sustituye 2.000 en la función de coste donde pone “X”) → C mál. = 160.000

¿Cuál sería el beneficio esperado para el volumen de producción X = 2.000? ¿y el punto Muerto?

Debe buscarse aquélla función que sea de mínimo coste, pues es la regla que se exige, por lo que para los resultados obtenidos, es la de Alicante. Entonces es ahí donde se halla el beneficio.

Bº = IT – CT → P * Q – (CF + CVu) por lo que sustituyendo para Alicante, se obtiene que:

Bº = 210 * (2.000) – 60.000 + 45 * (2.000) =270.000 u.m.

Punto Muerto = 210 * X – 60.000 + 45 * X = 0 → X = 363,6 uds.

Se representa a continuación las funciones de costes de las tres alternativas, en miles las ordenadas cuando X = 0 en la función de costes:

graf4-min

Se busca la función de mínimo coste, por lo que los tramos coloreados en verde son aquéllos con los que se corresponde la decisión según la cantidad de producción.

Corte de Cartagena con Alicante:
30.000 + 75 * X = 60.000 + 45 * X
X = 1.000 uds.

Corte de Alicante con Málaga:
60.000 + 45 * X = 110.000 + 25 * X
X = 2.500 uds.

*Interesará invertir en Cartagena cuando: X < 1.000
*Interesará invertir en la planta de Alicante cuando: 1.000 < X < 2.500
*Interesará invertir en la planta de Málaga cuando: 2.500 < X

Ejemplo 5

Hallar los costes de las tres instalaciones, para saber cuál es la más adecuada en los distintos volúmenes de producción o demanda esperada de ventas:

ej5-min

Se escriben las funciones de coste, tal que:

C A = 600 + 20 * X

C B = 1.500 + 15 * X

C C = 2.000 + 10 * X.

Entonces, no es correcto hallar los puntos de corte, sino que primero hay que dar dos puntos como mínimo a cada función para representarla.

Después se halla el punto de corte. Se puede resolver igualmente, pese a que falten datos.

Corte de A con B:
600 + 20 * X = 1.500 + 15 * X
X = 180 uds.

Corte de A con C:
600 + 20 * X = 2.000 + 10 * X
X = 140 uds.

Éste punto es el único que interesa para el estudio de la decisión, porque es el que más bajo hace quedar toda la función de costes.

Corte de B con C:
1.500 + 15 * X = 2.000 + 10 * X
X = 100 uds.

graf5-min

*Interesará invertir en A cuando: X < 140
*Interesará invertir en la planta C cuando: 140 < X

 

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Ejercicios de localización 2

punto muerto

Ejemplos prácticos cálculo del punto muerto

Ejemplo 1:

Con los siguientes datos, hallar qué inversión es la más aconsejable u óptima de realizar observando el Punto Muerto:

ej1-min

Se sabe por el concepto, que Punto Muerto es aquél en el que los Ingresos se igualan con los Costes, haciendo que el beneficio sea 0, por lo que el procedimiento a seguir es hallar las funciones de beneficios de cada alternativa de inversión.

La fórmula genérica es:

Bº = IT – CT → P * Q – (CF + CVu)

por lo que sustituyendo para cada alternativa de planta, teniendo presente que “X” son las unidades en planta o la cantidad, se obtiene que:

Bº pequeña = 2.000.000 * X – 100.000.000 – 500.000 * X = 0 → X peq. = 66,7 uds
Bº mediana = 2.000.000 * X – 120.000.000 – 250.000 * X = 0 → X med. = 68,6 uds

Gráficamente queda resuelto de la siguiente manera (si en ordenadas se representa el beneficio en millones, entonces significa que es ese valor cuando X = 0, por lo que en ordenadas está representado el “-CF”):

graf1-min

Las conclusiones que se pueden extraer del gráfico, son:

1.-Igualando ambas ecuaciones y despejando la cantidad de capacidad “X”, la solución
del punto de corte entre ambas funciones de beneficio es:
2.000.000 * X – 100.000.000 – 500.000 * X = 2.000.000 * X – 120.000.000 – 250.000 * X
X = 80 uds.

2.-Se observa que cuando ambas funciones han llegado al límite de su capacidad o al
máximo de ésta (la pequeña = 100 y la mediana = 150) dejan de crecer ambas, para
convertirse en lineales.

Conceptualmente, este hecho significa la cantidad de beneficio que puede llegar a alcanzar una planta en su máximo de capacidad, proyectando gráficamente la línea en ordenadas.

3.-La razón por la que no conviene invertir en ninguna planta antes de que la pequeña alcance el Punto Muerto es sencillamente porque ninguna está produciendo con beneficios, hasta justo ese momento.

Entonces, el resultado final de la decisión con respecto a la inversión en las plantas es que:

*Interesará invertir en la pequeña cuando: 66,7 < capacidad < 80
*Interesará invertir en la mediana cuando: 80 < capacidad

 

Ejemplo 2:

Con los siguientes datos, hallar qué inversión es la más aconsejable u óptima de realizar observando el Punto Muerto para cada posible volumen de demanda estimada:

ej2-min

Se observa con los datos, que respecto del anterior ejercicio se ha complicado el problema, pues ahora, son tres las funciones de las que hay que obtener la conclusión de inversión.

Se procede a hallar de igual manera la función de beneficios para las tres alternativas de inversión, para obtener la cantidad que hace el beneficio 0 y a partir de la que empiezan a obtener beneficios:

*Bº Málaga = 2.000 * X – 1.800.000 – 1.500 * X = 0 → X Mál. = 3.600 uds.
*Bº Sevilla = 2.000 * X – 1.200.000 – 1.600 * X = 0 → X Sev. = 3.000 uds.
*Bº Alicante = 2.000 * X – 740.000 – 1.700 * X = 0 → X Ali. = 2.466,6 uds.

Antes de comenzar la representación gráfica, conviene comentar la problemática de este ejercicio al tratarse de tres alternativas de inversión.

La principal cuestión será conocer el punto de corte de las tres alternativas entre sí.

Es importante esta información, ya que gráficamente se podrán saber los tramos de máximo beneficio de cada función, así como visualmente saber cuándo conviene invertir en cada planta.

A parte, merece la pena comentar el procedimiento de resolución para la obtención de la cantidad en el Punto Muerto, ya que sí que hay que igualar las ecuaciones en el punto de corte
como se vino haciendo en el anterior ejercicio, aunque para el segundo lado de la igualdad (la
función que corresponda) hay que sustituir “X” por la cantidad máxima de capacidad pues la
clave es que, no se cortan funciones entre sí, sino que una llega a su máxima capacidad.

Nota: representado en miles el eje de ordenadas.

graf2-min

Para el primer tramo, desde que interesa la planta de Alicante hasta que ésta se corta
con la de Sevilla, interesa invertir en la planta de Alicante.

Para el segundo tramo, desde que interesa la planta de Sevilla hasta que ésta se corta
con la de Málaga, interesa invertir en la planta de Sevilla.

Para el tercer y último tramo, desde que interesa la planta de Málaga, interesa invertir en la planta de Málaga.

Para la resolución de los puntos de corte, recordar que una de las funciones ha llegado a su
máximo:

Corte de Alicante (ésta es la que ha llegado al máximo) con Sevilla:
2.000 * X – 1.200.000 – 1.600 * X = 2.000 * (2.500) – 740.000 – 1.700 * (2.500)
X = 3.025 uds.

Corte de Sevilla (ésta es la que ha llegado al máximo) con Málaga:
2.000 * X – 1.800.000 – 1.500 * X = 2.000 * (5.000) – 1.200.000 – 1.600 * (5.000)
X = 5.200 uds.

*No interesará invertir cuando: capacidad < 2.466,6
*Interesará invertir en la planta de Alicante cuando: 2.466,6 < capacidad < 3.025
*Interesará invertir en la planta de Sevilla cuando: 3.025 < capacidad < 5.200
*Interesará invertir en la planta de Málaga cuando: 5.200 < capacidad

Ejemplo 3:

El nuevo plan de expansión de Intel le está llevando a analizar diferentes alternativas para aumentar su producción de procesadores.

Para ello, ha analizado diferentes plantas en funcionamiento que podría llegar a adquirir, sabiendo que el precio de venta de cada procesador es de 1 €.

La primera está en España, con una capacidad máxima de 12.000.000 uds., los costes fijos ascienden a 3.000.000 €, la mano de obra supone 0,10€ por unidad producida y los materiales ascienden a 0,25 € por unidad, siendo los costes medios de transporte de 0,05 € por unidad.

La segunda está en Alemania, con una capacidad máxima de 18.000.000 uds., los costes fijos ascienden a 3.900.000 €, la mano de obra supone 0,15 € por unidad producida y los materiales ascienden a 0,10 € por unidad, siendo los costes medios de transporte de 0,10 € por unidad.

La tercera está en Marruecos, con una capacidad máxima de 25.000.000 uds., los costes fijos ascienden a 6.400.000 €, la mano de obra supone 0,05 € por unidad producida y los materiales ascienden a 0,10 € por unidad, siendo los costes medios de transporte de 0,05 € por unidad.

*¿Cuál sería la planta más adecuada para cada uno de los posibles volúmenes de producción?

Si se espera una demanda de 17.000.000 uds.

*¿Qué beneficio obtendría de cada instalación y qué planta compraría?
Se plantea como un ejercicio de capacidad, donde el criterio es que los ingresos son dependientes de la ubicación, pues el volumen esperado de ventas es distinto para los tres lugares.

ej3-min

Bº = IT – CT → P * Q – (CF + CVu) por lo que sustituyendo para cada alternativa de planta, teniendo presente que “X” son las unidades en planta o la cantidad, se obtiene que:

*Bº España = 1 * X – 3.000.000 – 0,40 * X = 0 → X esp. = 5.000.000 uds.
*Bº Alemania = 1 * X – 3.900.000 – 0,35 * X = 0 → X ale. = 6.000.000 uds.
*Bº Marruecos = 1 * X – 6.400.000 – 0,20 * X = 0 → X mar. = 8.000.000 uds.

Para hallar el beneficio, debe buscarse aquélla función que sea de mínimo coste, pues es la regla que se exige, no obstante se calcula en las tres plantas ya que lo pide el enunciado.

Bº = IT – CT → P * Q – (CF + CVu) por lo que sustituyendo para los tres emplazamientos, se obtiene que:

*Bº esp. = 1 * (12.000.000) – [3.000.000 + 0,40 * (12.000.000)] =4.200.000 u.m.

Para este caso, se sustituye sólo hasta los 12 millones porque éste es su máximo y no llega a
alcanzar los 17 millones que marca el enunciado.

*Bº ale. = 1 * (17.000.000) – [3.900.000 + 0,35 * (17.000.000)] = 7.150.000 u.m.

*Bº mar. = 1 * (17.000.000) – [6.400.000 + 0,20 * (17.000.000)] = 7.200.000 u.m.

Las cantidades antes halladas sirven para representar gráficamente las funciones, por lo que en ordenadas y abscisas se representa en millones, significa que es ese valor cuando X = 0, por lo que en ordenadas está representado el “-CF”:

graf3-min

Para la resolución de los puntos de corte, recordar que una de las funciones ha llegado a su máximo, no así (caso curioso) para el segundo de los cortes, donde ninguna función depende de la cantidad de capacidad:

Corte de España (ésta es la que ha llegado al máximo) con Alemania:
(12.000.000) – [3.000.000 + 0,40 * (12.000.000)] = X – [3.900.000 + 0,35 * X] X = 12.461.538 uds.

Corte de Alemania con Marruecos:
X – [3.900.000 + 0,35 * X] = X – [6.400.000 + 0,20 * X] X = 16.666.666,66 uds.

*No interesará invertir cuando: capacidad < 5.000.000
*Interesará invertir en la planta de España cuando: 5.000.000 < capacidad < 12.461.538
*Interesará invertir en la planta de Alemania cuando: 12.461.538 < capacidad < 16.666.666,66
*Interesará invertir en la planta de Marruecos cuando: 16.666.666,66 < capacidad

 

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